แบบสอบถามไปยังเซิร์ฟเวอร์การค้นหาเป็นตัวอย่างของโซลูชัน การดำเนินการทางตรรกะและคุณสมบัติ

ส่วน: สารสนเทศศาสตร์

ปัจจุบันมีงานมากมายในการสอบเข้าวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในหัวข้อ "พีชคณิตของตรรกะ" บทเรียนนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อรวบรวมทักษะในการแก้งาน USE ในวิทยาการคอมพิวเตอร์โดยใช้องค์ประกอบของพีชคณิตลอจิก

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสร้างความสามารถในการประยุกต์ใช้ความรู้ที่ได้รับในทางปฏิบัติ
การพัฒนาความสามารถในการสร้างตารางความจริงตามสูตรที่กำหนด
การพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาคำโดยใช้กฎของตรรกะ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา - การพัฒนาความสนใจทางปัญญาการคิดเชิงตรรกะ
เกี่ยวกับการศึกษา- การทำซ้ำของพื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์การดำเนินงานในทางปฏิบัติ
กำลังพัฒนา - การพัฒนาความคิดเชิงตรรกะความเอาใจใส่

ระหว่างเรียน

การทำซ้ำของการดำเนินการทางตรรกะและกฎหมาย
การประยุกต์ใช้การดำเนินการทางตรรกะและกฎหมายในทางปฏิบัติ
คำอธิบายของการบ้าน

วันนี้เราจะจบหัวข้อ "รากฐานของตรรกะ" และเราจะใช้การดำเนินการเชิงตรรกะพื้นฐานกฎหมายการเปลี่ยนแปลงเพื่อแก้ปัญหางาน USE ในวิทยาการคอมพิวเตอร์

บทเรียนจะดำเนินควบคู่ไปกับการนำเสนอ<Приложение1>

1. การทำซ้ำของการดำเนินการทางตรรกะและกฎหมาย

พีชคณิตของลอจิกเป็นสาขาหนึ่งของตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างของข้อความเชิงตรรกะที่ซับซ้อนและวิธีการสร้างความจริงโดยใช้วิธีพีชคณิต

1. ผู้ก่อตั้งตรรกะทางการ?

อริสโตเติล.

2. ผู้ก่อตั้งพีชคณิตของตรรกะ?

จอร์จบูล

3. แสดงรายการการดำเนินการเชิงตรรกะ:

¬การปฏิเสธ (ผกผัน)
&, / \\ joint (“ และ”)
V disjunction ("หรือ")
ผลเชิงตรรกะ (นัย)
ความเท่าเทียมกัน (equivalence)

4. กฎแห่งการปฏิเสธซ้อนมีความหมายอย่างไร?

การปฏิเสธสองครั้งไม่รวมการปฏิเสธ

5. กฎหมายของเดอมอร์แกน (กฎแห่งการผกผันทั่วไป)

การปฏิเสธของความแตกแยกคือการรวมกันของการปฏิเสธ:

¬ (A V B) \u003d ¬A / \\ ¬B

การปฏิเสธของการรวมคือการไม่ต่อเนื่องของการปฏิเสธ:

¬ (A / \\ B) \u003d ¬A V ¬B

6. กฎของ idempotency (ตัวตน)

7. กฎแห่งการยกเว้นข้อสามมีความหมายอย่างไร?

ในสองข้อความที่ขัดแย้งกันเกี่ยวกับเรื่องเดียวกันหนึ่งเป็นจริงเสมออันที่สองเป็นเท็จส่วนที่สามไม่ได้รับ:

8. กฎแห่งความขัดแย้งคืออะไร?

คำสั่งและการปฏิเสธไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันได้:

9. กฎการยกเว้นค่าคงที่

สำหรับการเพิ่มตรรกะ:

A V 1 \u003d 1 A V 0 \u003d A

สำหรับการคูณเชิงตรรกะ:

ก / \\ 1 \u003d ก / \\ 0 \u003d 0

10. วิธีการแสดงความหมายผ่านการแยก?

A B \u003d ¬A V B

2. การประยุกต์ใช้การดำเนินการทางตรรกะและกฎหมายในทางปฏิบัติ

ตัวอย่าง 1. ( ภารกิจ A11 ของการสาธิตปี 2004)

ชื่อใดที่เป็นจริง:

¬ (อักษรตัวแรกของสระ -\u003e พยัญชนะตัวที่สี่)?

การตัดสินใจ. คำสั่งที่ซับซ้อนประกอบด้วยสองประโยคง่ายๆ:

A - อักษรตัวแรกของชื่อคือสระ

B - อักษรตัวที่สี่ของชื่อเป็นพยัญชนะ

¬ (AB) \u003d ¬ (¬A V B) \u003d (¬ (¬A) / \\ ¬B) \u003d A / \\ ¬B

สูตรที่ใช้ได้:

1. ความหมายผ่าน disjunction A? B \u003d ¬A V B

2. กฎของเดอมอร์แกน¬ (A V B) \u003d ¬A / \\ ¬B

3. กฎของการปฏิเสธสองครั้ง

(อักษรตัวแรกของชื่อคือสระ / \\ อักษรตัวที่สี่ของชื่อเป็นสระ)

ตัวอย่าง 2. ( ภารกิจ A12 ของการสาธิตปี 2004)

นิพจน์ตรรกะใดเทียบเท่ากับ¬ (A \\ / ¬B)

การตัดสินใจ. ¬ (A \\ / ¬B) \u003d ¬ A \\ / ¬ (¬B) \u003d ¬ A \\ / B

สร้างตารางความจริงสำหรับสูตร

¬ (B / \\ C) V (A / \\ C B)

ลำดับของการดำเนินการของการดำเนินการทางตรรกะ:

¬ (B / \\ C) V (A / \\ C B)

วาดตารางความจริง

ตารางของคุณจะมีกี่แถว? 3 ตัวแปร: A, B, C; 2 3 \u003d 8

มีกี่คอลัมน์ 5 การดำเนินการ + 3 ตัวแปร \u003d 8

ก	ข	ค	(B / C)	¬ (B / C)	A / c	(A / C? B)	¬ (B / \\ C) V (A / \\ C B)
0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1	1	1

คำตอบในคอลัมน์สุดท้ายคืออะไร?

เหมือนจริงหากใช้ค่า 1 ในชุดคำสั่งธรรมดาทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น เรียกว่าสูตรที่แท้จริงที่เหมือนกัน tautologies.

ลองแก้ตัวอย่างนี้ในเชิงวิเคราะห์:

การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

¬ (B / \\ C) V (A / \\ C B) \u003d (ใช้สูตรสำหรับความหมาย)

¬ (B / \\ C) V ¬ (A / \\ C) V B \u003d (ใช้กฎหมายของมอร์แกน 1 และ 2)

(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B \u003d (ถอดวงเล็บ)

¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B \u003d (ใช้กฎหมายการขนย้าย)

¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A \u003d (กฎแห่งการยกเว้นข้อที่สามกฎแห่งความไม่ปกติ)

1 V ¬C V ¬A \u003d 1 V ¬A \u003d 1 (กฎการกำจัดค่าคงที่)

ตอบ: 1 หมายความว่าสูตรเป็นจริงเหมือนกันหรือ tautology

เรียกนิพจน์บูลีน เท็จเหมือนกันหากใช้ค่า 0 ในชุดคำสั่งธรรมดาทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น

(งานที่ 3 การบ้าน)

ตารางแสดงรายการคำขอไปยังเซิร์ฟเวอร์การค้นหา จัดเรียงการกำหนดคิวรีตามลำดับจากน้อยไปหามากของจำนวนเพจที่เครื่องมือค้นหาจะพบสำหรับแต่ละคิวรี

ในการแสดงการดำเนินการทางตรรกะ "OR" ในแบบสอบถามสัญลักษณ์ I ถูกใช้และสำหรับการดำเนินการทางตรรกะ "AND" - สัญลักษณ์ &

วิธีแรกตั้งอยู่บนพื้นฐานของเหตุผล การใช้เหตุผลอย่างมีเหตุผลเราจะเห็นว่าส่วนใหญ่ของทุกหน้าจะพบได้โดยการสืบค้น D เนื่องจากเมื่อมีการเรียกใช้หน้าที่มีคำว่า "กฎหมาย" และหน้าที่มีคำว่า "ฟิสิกส์" และหน้าที่มีคำว่า "ชีววิทยา" จะ พบ. จะพบน้อยที่สุดของทุกหน้าสำหรับคำค้นหา B เนื่องจากมีทั้งสี่คำในหน้าค้นหา ยังคงเปรียบเทียบคำค้นหา A และ B โดยการสืบค้น B จะพบหน้าทั้งหมดที่ตรงกับข้อความค้นหา A (เนื่องจากส่วนหลังจำเป็นต้องมีคำว่า "กฎหมาย") รวมถึงหน้าที่มีทั้งคำว่า "ฟิสิกส์" และ "ชีววิทยา" . ดังนั้นแบบสอบถาม B จะพบหน้ามากกว่าแบบสอบถาม A ดังนั้นเราจึงได้รับการจัดลำดับการสืบค้นจากน้อยไปหามาก WABG.

คำตอบ: WABG

วิธีที่สองเกี่ยวข้องกับการใช้การแสดงภาพกราฟิกของการดำเนินการในชุด (ดูการนำเสนอ)

ตัวอย่าง 5. ( ภารกิจ A16 ของการสาธิตปี 2549)

ด้านล่างในรูปแบบตารางจะมีการนำเสนอส่วนของฐานข้อมูลผลการทดสอบของนักเรียน (ใช้มาตราส่วนร้อยจุด)

นามสกุล	ชั้น	คณิตศาสตร์	ภาษารัสเซีย	เคมี	สารสนเทศศาสตร์	ชีววิทยา
อากาเนียน	ฉ	82	56	46	32	70
โวโรนิน	ม	43	62	45	74	23
กริกอร์ชุค	ม	54	74	68	75	83
Rodnina	ฉ	71	63	56	82	79
Sergeenko	ฉ	33	25	74	38	46
Cherepanova	ฉ	18	92	83	28	61

จำนวนระเบียนในส่วนที่กำหนดเป็นไปตามเงื่อนไข

"Gender \u003d 'm' OR Chemistry\u003e Biology"?

เลือกรายการเด็กชาย (สองคน) และเคมี\u003e ชีววิทยา (สามคน แต่เด็กผู้ชายคนหนึ่งได้รับหนึ่งครั้งแล้ว) เป็นผลให้บันทึก 4 รายการเป็นไปตามเงื่อนไข

ภารกิจที่ 6. ( งาน B4 ของการสาธิต 2007)

ในการแข่งขันเทเบิลเทนนิสชิงแชมป์โรงเรียนสี่อันดับแรก ได้แก่ นาตาชา, มาช่า, ลูดาและริต้า แฟน ๆ ที่กระตือรือร้นที่สุดแสดงข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับการกระจายสถานที่ในการแข่งขันต่อไป

หนึ่งคิดว่านาตาชาจะเป็นคนแรกและมาช่าจะเป็นคนที่สอง

แฟนคนอื่นอ่าน Luda เป็นอันดับสองและ Rita ในความคิดของเขาจะได้อันดับที่สี่

นักเทนนิสคนที่สามไม่เห็นด้วยกับพวกเขา เขาเชื่อว่าริต้าจะได้ที่สามและนาตาชาจะเป็นที่สอง

Natasha, Masha, Luda, Rita ได้รับตำแหน่งใดในการแข่งขันชิงแชมป์?

(ในคำตอบของคุณให้ระบุหมายเลขในแถวโดยไม่มีช่องว่างที่ตรงกับสถานที่ของเด็กผู้หญิงตามลำดับชื่อที่กำหนด)

มากำหนดงบ:

Н1 \u003d“ นาตาชาจะเป็นคนแรก”;

M2 \u003d“ Masha จะเป็นคนที่สอง”;

L2 \u003d“ วินาทีจะเป็น Luda”;

P4 \u003d“ ริต้าจะเป็นคนที่สี่”;

P3 \u003d“ ริต้าจะเป็นคนที่สาม”;

H2 \u003d“ นาตาชาจะเป็นคนที่สอง”

ตามเงื่อนไข:

ตามมาจากข้อความของพัดลม 1 ตัวที่Н1VМ2เป็นจริง

ตามมาจากงบ 2 ของพัดลมที่ L2VP4 เป็นจริง

จากคำบอกเล่าของแฟน ๆ 3 คนพบว่า P3VH2 เป็นเรื่องจริง

ดังนั้นการเชื่อมต่อ

(H1VM2) / \\ (L2VP4) / \\ (P3VH2) \u003d 1.

ขยายวงเล็บเราได้รับ:

(H1VM2) / \\ (L2VP4) / \\ (P3VH2) \u003d (H1 / \\ L2V H1 / \\ P4 V M2 / \\ L2 V M2 / \\ P4) / \\ (P3VH2) \u003d

H1 / \\ L2 / \\ P3 V H1 / \\ P4 / \\ P3 V M2 / \\ L2 / \\ P3 V M2 / \\ P4 / \\ P3 V H1 / \\ L2 / \\ H2 V H1 / \\ P4 / \\ H2 V M2 / \\ L2 / \\ H2 V M2 / \\ P4 / \\ H2 \u003d H1 / \\ L2 / \\ P3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V \u003d H1 / \\ L2 / \\ P3

Natasha-1, Luda-2, Rita-3 และ Masha-4

คำตอบ: 1423

3. คำอธิบายการบ้าน

แบบฝึกหัด 1. ( งาน B8 ของการสาธิต 2007)

ในการแสดงการดำเนินการทางตรรกะ "OR" ในแบบสอบถามจะใช้สัญลักษณ์ | และสำหรับการดำเนินการทางตรรกะ "AND" - &

ภารกิจที่ 2 ( งาน B4 ของการสาธิตปี 2008)

ก่อนเริ่มทัวร์นาเมนต์โฟร์แฟน ๆ ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับไอดอลของพวกเขาดังนี้

A) ชนะสูงสุดบิลที่สอง

B) บิลเป็นอันดับสาม นิคเป็นคนแรก;

C) Max คือคนสุดท้ายและคนแรกคือ John

เมื่อการแข่งขันสิ้นสุดลงปรากฎว่าแฟน ๆ แต่ละคนถูกต้องตามการคาดการณ์เพียงอย่างเดียว

John, Nick, Bill, Max เข้าร่วมการแข่งขันที่ไหน

(ในคำตอบให้ระบุสถานที่ของผู้เข้าร่วมในแถวโดยไม่มีช่องว่างตามลำดับชื่อที่กำหนด)

คำค้นหาใช้เพื่อค้นหาข้อมูลบนอินเทอร์เน็ตได้อย่างรวดเร็ว คำค้นหาคือชุดของคำสำคัญที่เชื่อมต่อกันโดยตัวดำเนินการเชิงตรรกะ AND, OR, NOT

ลำดับความสำคัญของการดำเนินการหากไม่มีวงเล็บพิเศษมีดังต่อไปนี้: อันดับแรกไม่ใช่จากนั้นและตามด้วยหรือ

คุณต้องเข้าใจว่าการดำเนินการ AND (การปฏิบัติตามเงื่อนไขพร้อมกัน) จะลดปริมาณของผลลัพธ์และการดำเนินการ OR (การปฏิบัติตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ) ในทางตรงกันข้ามจะเพิ่มระดับเสียง

หากข้อความค้นหามีวลีในเครื่องหมายคำพูดระบบจะค้นหาวลีนั้นอย่างครบถ้วน

1. การจัดเรียงแบบสอบถามจากน้อยไปมาก (มากไปหาน้อย)

การดำเนินการ AND (&) หมายถึงการมีคีย์เวิร์ดพร้อมกันในเอกสารที่ค้นหาดังนั้นจึงช่วยลดจำนวนข้อมูลที่พบ คำหลักที่เชื่อมโยงกันมากขึ้นโดยการดำเนินการ "AND" ก็จะพบข้อมูลน้อยลง และในทางกลับกันการดำเนินการ "OR" (|) หมายถึงการมีอยู่ของคีย์เวิร์ดอย่างน้อยหนึ่งคำในเอกสารที่ค้นหาดังนั้นจึงเพิ่มจำนวนข้อมูลที่พบ

ตัวอย่าง 1.

ตารางแสดงรายการคำขอไปยังเซิร์ฟเวอร์การค้นหา จัดเรียงการกำหนดคิวรีตามลำดับจากน้อยไปหามากของจำนวนเพจที่เครื่องมือค้นหาจะพบสำหรับแต่ละคิวรี

การตัดสินใจ:

จำนวนหน้าที่น้อยที่สุดจะถูกเลือกโดยข้อความค้นหาที่มีการดำเนินการ "AND" มากที่สุด (คำค้นหา D) จำนวนหน้ามากที่สุดจะถูกเลือกโดยข้อความค้นหาที่มีการดำเนินการ "หรือ" มากที่สุด (ข้อความค้นหา B) หน้าอื่น ๆ จะถูกเลือกสำหรับคำขอ A มากกว่าคำขอ B เนื่องจาก คำค้นหา A มีคำหลักที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมหรือ

คำตอบ: GWAB

2. พบการนับในหน้าคำขอ

ปัญหาประเภทนี้มักแก้ไขได้ด้วยระบบสมการ ฉันจะแนะนำวิธีที่ง่ายและเป็นภาพมากขึ้น

หลักการของการเลือกข้อมูลสำหรับข้อความค้นหานั้นแสดงได้ดีจากแผนภาพออยเลอร์ - เวนน์ (วงกลมออยเลอร์) ในแผนภาพชุดต่างๆจะแสดงด้วยวงกลมที่ตัดกัน การดำเนินการ AND (&) คือจุดตัดของวงกลมและการดำเนินการ OR (|) คือการรวมกันของวงกลม

ตัวอย่างเช่นให้เราแสดงชุดแอปเปิ้ลลูกแพร์กล้วยเป็นวงกลม สำหรับ Apples & Pears & Bananas จะมีการเลือกจุดตัด (ส่วนทั่วไป) ของวงกลมทั้งสาม:

ตามคำขอ Apples | Pears จะเลือกการรวมกันของสองวงกลม:

ตัวอย่าง 2.

ตารางแสดงคำขอและจำนวนเพจที่เซิร์ฟเวอร์การค้นหาพบสำหรับคำขอเหล่านี้ในบางส่วนของอินเทอร์เน็ต:

จะค้นหาหมากรุกกี่หน้า (ในพัน)

การตัดสินใจ:

มาวาดแผนภาพออยเลอร์ - เวนน์กัน วิธีแก้ปัญหาประกอบด้วยการนับจำนวนหน้าที่สอดคล้องกับแต่ละพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้น:

ข้อความค้นหาหมากรุกและเทนนิสสอดคล้องกับพื้นที่ตรงกลาง (1,000 พันหน้า) และข้อความค้นหาเทนนิสสอดคล้องกับวงกลมด้านขวาทั้งหมด (5500 พันหน้า)

จากนั้น "วงกลมที่ครอบตัด" ทางขวาคือ 5500-1000 \u003d 4500:

คำขอหมากรุก | เทนนิสจับคู่ทั้งสองวงกลม (7770) จากนั้น "วงกลมที่ครอบตัด" ทางซ้ายคือ 7770-5500 \u003d 2270

วงจรไฟฟ้าที่ออกแบบมาเพื่อดำเนินการทางตรรกะกับข้อมูลอินพุตเรียกว่าองค์ประกอบเชิงตรรกะ ข้อมูลอินพุตจะแสดงที่นี่ในรูปแบบของแรงดันไฟฟ้าในระดับต่างๆและผลของการดำเนินการเชิงตรรกะที่เอาต์พุตยังได้รับในรูปแบบของแรงดันไฟฟ้าในระดับหนึ่ง

ในกรณีนี้จะมีการจ่ายตัวถูกดำเนินการ - สัญญาณในรูปแบบของแรงดันไฟฟ้าสูงหรือต่ำจะได้รับที่อินพุตขององค์ประกอบลอจิกซึ่งโดยพื้นฐานแล้วทำหน้าที่เป็นข้อมูลอินพุต ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าระดับสูง - นี่คือตรรกะ 1 - หมายถึงค่าที่แท้จริงของตัวถูกดำเนินการและแรงดันไฟฟ้าระดับต่ำ 0 - ค่าเท็จ 1 - จริง, 0 - เท็จ

องค์ประกอบตรรกะ - องค์ประกอบที่ใช้ความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต โดยปกติองค์ประกอบลอจิกจะใช้ในการสร้างวงจรลอจิกของคอมพิวเตอร์วงจรแยกสำหรับการควบคุมและการจัดการอัตโนมัติ องค์ประกอบทางตรรกะทุกประเภทโดยไม่คำนึงถึงลักษณะทางกายภาพของพวกเขามีลักษณะเฉพาะด้วยค่าที่ไม่ต่อเนื่องของสัญญาณอินพุตและเอาต์พุต

ลอจิกเกตมีอินพุตหนึ่งหรือมากกว่าและหนึ่งหรือสองเอาต์พุต (โดยปกติจะผกผันซึ่งกันและกัน) ค่าของ "ศูนย์" และ "ตัว" ของสัญญาณเอาต์พุตขององค์ประกอบเชิงตรรกะจะพิจารณาจากฟังก์ชันตรรกะที่องค์ประกอบนั้นดำเนินการและค่าของ "ศูนย์" และ "ตัว" ของสัญญาณอินพุตซึ่งเล่น บทบาทของตัวแปรอิสระ มีฟังก์ชันลอจิคัลพื้นฐานที่สามารถใช้ในการเขียนฟังก์ชันตรรกะที่ซับซ้อนใด ๆ

ขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ของวงจรองค์ประกอบบนพารามิเตอร์ทางไฟฟ้าระดับลอจิก (ระดับแรงดันไฟฟ้าสูงและต่ำ) ของอินพุตและเอาต์พุตมีค่าเดียวกันสำหรับสถานะสูงและต่ำ (จริงและเท็จ)

ตามเนื้อผ้าองค์ประกอบลอจิกถูกผลิตในรูปแบบของส่วนประกอบวิทยุพิเศษ - วงจรรวม การดำเนินการทางตรรกะเช่นการเชื่อมต่อการแยกการปฏิเสธและการเพิ่มโมดูโล (AND, OR, NOT, เอกสิทธิ์หรือ) เป็นการดำเนินการหลักที่ดำเนินการกับองค์ประกอบทางตรรกะประเภทพื้นฐาน ลองมาดูลอจิกเกตแต่ละประเภทเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

องค์ประกอบลอจิก "AND" - การรวมการคูณเชิงตรรกะ AND

"AND" คือองค์ประกอบเชิงตรรกะที่ทำหน้าที่ร่วมหรือการคูณเชิงตรรกะกับข้อมูลอินพุต องค์ประกอบนี้สามารถมีได้ตั้งแต่ 2 ถึง 8 (องค์ประกอบที่ใช้กันทั่วไปในการผลิต "AND" ที่มีอินพุต 2, 3, 4 และ 8) และหนึ่งเอาต์พุต

สัญลักษณ์ขององค์ประกอบตรรกะ "AND" ที่มีอินพุตจำนวนต่างกันจะแสดงในรูป ในข้อความองค์ประกอบเชิงตรรกะ "AND" ที่มีอินพุตหนึ่งหรือจำนวนอื่นถูกกำหนดให้เป็น "2I", "4I" ฯลฯ - องค์ประกอบ "AND" ที่มีอินพุตสองอินพุตโดยมีอินพุตสี่อินพุตเป็นต้น

ตารางความจริงสำหรับองค์ประกอบ 2I แสดงให้เห็นว่าเอาต์พุตขององค์ประกอบจะเป็นหน่วยตรรกะก็ต่อเมื่อหน่วยตรรกะอยู่พร้อมกันที่อินพุตแรกและที่อินพุตที่สอง ในอีกสามกรณีที่เป็นไปได้ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์

ในแผนภาพตะวันตกไอคอนองค์ประกอบ "AND" มีเส้นตรงที่ทางเข้าและมีการปัดเศษที่ทางออก ในรูปแบบภายในประเทศ - สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัญลักษณ์ "&"

องค์ประกอบลอจิก "OR" - การไม่ต่อเนื่องการเพิ่มตรรกะ OR

"OR" เป็นองค์ประกอบเชิงตรรกะที่ดำเนินการแยกส่วนหรือการดำเนินการเพิ่มเติมทางตรรกะกับข้อมูลอินพุต เช่นเดียวกับองค์ประกอบ“ AND” ถูกสร้างขึ้นด้วยอินพุตสองสามสี่ ฯลฯ และหนึ่งเอาต์พุต สัญลักษณ์ขององค์ประกอบเชิงตรรกะ "OR" ที่มีจำนวนอินพุตต่างกันจะแสดงในรูป องค์ประกอบเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้: 2OR, 3OR, 4OR ฯลฯ

ตารางความจริงสำหรับองค์ประกอบ "2OR" แสดงให้เห็นว่าสำหรับการปรากฏของหน่วยตรรกะที่เอาต์พุตนั้นเพียงพอที่หน่วยตรรกะจะอยู่ที่อินพุตแรกหรือที่อินพุตที่สอง หากตรรกะอยู่ในสองอินพุตพร้อมกันเอาต์พุตก็จะเป็นหนึ่งเช่นกัน

ในเค้าโครงแบบตะวันตกองค์ประกอบ OR มีทางเข้าโค้งมนและทางออกโค้งมน ในรูปแบบภายในประเทศ - สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัญลักษณ์ "1"

ลอจิกเกต "NOT" - ลบอินเวอร์เตอร์ไม่ใช่

"NOT" เป็นองค์ประกอบเชิงตรรกะที่ดำเนินการกับการปฏิเสธตรรกะกับข้อมูลอินพุต องค์ประกอบนี้ซึ่งมีเอาต์พุตเดียวและอินพุตเดียวเรียกอีกอย่างว่าอินเวอร์เตอร์เนื่องจากจริงๆแล้วจะแปลงสัญญาณอินพุต (กลับด้าน) รูปแสดงการกำหนดแบบเดิมขององค์ประกอบเชิงตรรกะ "NOT"

ตารางความจริงสำหรับอินเวอร์เตอร์แสดงให้เห็นว่าอินพุตที่มีศักยภาพสูงจะให้ศักยภาพเอาต์พุตต่ำและในทางกลับกัน

ในแผนภาพตะวันตกไอคอนองค์ประกอบ "NOT" มีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยมโดยมีวงกลมอยู่ที่ทางออก ในรูปแบบภายในประเทศ - สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีสัญลักษณ์ "1" โดยมีวงกลมอยู่ที่ทางออก

องค์ประกอบลอจิก "AND-NOT" - การรวม (การคูณเชิงตรรกะ) กับการปฏิเสธ NAND

"AND-NOT" - องค์ประกอบเชิงตรรกะที่ดำเนินการเพิ่มเชิงตรรกะในข้อมูลอินพุตจากนั้นการปฏิเสธเชิงตรรกะผลลัพธ์จะถูกป้อนไปยังเอาต์พุต กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือโดยหลักการแล้วองค์ประกอบ "AND" เสริมด้วยองค์ประกอบ "NOT" รูปแสดงการกำหนดแบบเดิมขององค์ประกอบเชิงตรรกะ "2I-NOT"

ตารางความจริงสำหรับองค์ประกอบ AND-NOT นั้นตรงกันข้ามกับตาราง AND แทนที่จะเป็นศูนย์สามตัวและหนึ่งตัวมีสามตัวและศูนย์ องค์ประกอบ NAND เรียกอีกอย่างว่าองค์ประกอบ Schaeffer เพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ Henry Maurice Schaeffer ซึ่งเป็นคนแรกที่สังเกตเห็นความสำคัญของสิ่งนี้ในปีพ. ศ. 2456 มันถูกกำหนดให้เป็น "AND" โดยมีวงกลมที่ทางออกเท่านั้น

องค์ประกอบลอจิก "OR-NOT" - การแยก (การเพิ่มตรรกะ) พร้อมการปฏิเสธ, NOR

"OR-NOT" - องค์ประกอบเชิงตรรกะที่ดำเนินการเพิ่มตรรกะในข้อมูลอินพุตจากนั้นการปฏิเสธเชิงตรรกะผลลัพธ์จะถูกป้อนไปยังเอาต์พุต กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือองค์ประกอบ "หรือ" เสริมด้วยองค์ประกอบ "ไม่" - อินเวอร์เตอร์ รูปแสดงการกำหนดแบบเดิมขององค์ประกอบเชิงตรรกะ "2OR-NOT"

ตารางความจริงสำหรับองค์ประกอบหรือไม่อยู่ตรงข้ามกับตารางสำหรับองค์ประกอบ OR ศักยภาพสูงที่เอาต์พุตจะได้รับในกรณีเดียวเท่านั้น - ศักยภาพต่ำจะใช้กับอินพุตทั้งสองพร้อมกัน ระบุว่าเป็น "OR" โดยมีวงกลมที่เอาต์พุตเท่านั้นซึ่งระบุการผกผัน

Logic gate "เอกสิทธิ์เฉพาะหรือ" - นอกจากนี้ modulo 2, XOR

"Exclusive OR" - องค์ประกอบเชิงตรรกะที่ดำเนินการเพิ่มตรรกะบนโมดูลข้อมูลอินพุต 2 มีอินพุตสองอินพุตและเอาต์พุตหนึ่งเอาต์พุต องค์ประกอบเหล่านี้มักใช้ในแผนการควบคุม รูปแสดงสัญลักษณ์สำหรับองค์ประกอบนี้

รูปภาพในรูปแบบตะวันตก - เช่นเดียวกับใน "OR" ที่มีแถบโค้งเพิ่มเติมที่ด้านข้างของทางเข้าในประเทศ - เป็น "OR" จะเขียนเฉพาะ "1" แทน "\u003d 1"

องค์ประกอบทางตรรกะนี้เรียกอีกอย่างว่า "อสมการ" ระดับแรงดันไฟฟ้าสูงจะอยู่ที่เอาท์พุทก็ต่อเมื่อสัญญาณที่อินพุตไม่เท่ากัน (ในหนึ่งหน่วยอีกศูนย์หนึ่งหรืออีกหนึ่งศูนย์และอีกหน่วยหนึ่ง) แม้ว่าจะมีสองหน่วยที่เหมือนกันก็ตาม เวลาที่อินพุตเอาต์พุตจะเป็นศูนย์ - นี่คือความแตกต่างจาก "OR" องค์ประกอบตรรกะเหล่านี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในแอดเดอร์

คำสันธานหรือการคูณเชิงตรรกะ (ในทฤษฎีเซตนี่คือจุดตัด)

การรวมเป็นนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงก็ต่อเมื่อนิพจน์ธรรมดาทั้งสองเป็นจริง สถานการณ์ดังกล่าวเป็นไปได้ในกรณีเดียวเท่านั้นในกรณีอื่น ๆ การเชื่อมต่อเป็นเท็จ

การกำหนด: &, $ \\ wedge $, $ \\ cdot $.

ตารางความจริงสำหรับการเชื่อมต่อ

ภาพที่ 1.

คุณสมบัติสันธาน:

หากนิพจน์ย่อยของการรวมอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์เป็นเท็จสำหรับชุดค่าของตัวแปรการรวมทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านี้
หากนิพจน์การรวมทั้งหมดเป็นจริงสำหรับชุดค่าของตัวแปรการรวมทั้งหมดจะเป็นจริงด้วย
ความหมายของการรวมกันทั้งหมดของนิพจน์ที่ซับซ้อนไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนของนิพจน์ย่อยที่ใช้ (เช่นในคณิตศาสตร์การคูณ)

การแยกส่วนหรือการเพิ่มตรรกะ (ในทฤษฎีเซตนี่คือการรวมกัน)

Disjunction คือนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเกือบจะเป็นจริงเสมอยกเว้นเมื่อนิพจน์ทั้งหมดเป็นเท็จ

ชื่อ: +, $ \\ vee $.

ตารางความจริงสำหรับการแยกส่วน

รูปที่ 2.

คุณสมบัติการแยก:

หากนิพจน์ย่อย disjunction อย่างน้อยหนึ่งนิพจน์เป็นจริงกับชุดค่าของตัวแปรการแยกทั้งหมดจะใช้ค่าจริงสำหรับ ชุดนี้ นิพจน์ย่อย
หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการดิสชันบางอย่างเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางค่าการแยกนิพจน์ทั้งหมดจะเป็นเท็จด้วย
ความหมายของการแยกส่วนทั้งหมดไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของการเขียนนิพจน์ย่อย (เช่นเดียวกับในคณิตศาสตร์ - การบวก)

การปฏิเสธการปฏิเสธเชิงตรรกะหรือการผกผัน (ในทฤษฎีเซตนี่คือการปฏิเสธ)

Negation - หมายความว่าอนุภาค NOT หรือคำว่าผิดถูกเพิ่มเข้าไปในนิพจน์ตรรกะดั้งเดิมคืออะไรและด้วยเหตุนี้เราจึงได้ว่าถ้านิพจน์ดั้งเดิมเป็นจริงการปฏิเสธของต้นฉบับจะเป็นเท็จและในทางกลับกัน หากนิพจน์ดั้งเดิมเป็นเท็จการปฏิเสธจะเป็นจริง

สัญกรณ์: ไม่ใช่ $ A $, $ \\ bar (A) $, $ ¬A $

ตารางความจริงสำหรับการผกผัน

รูปที่ 3.

คุณสมบัติการปฏิเสธ:

"การปฏิเสธซ้ำสองครั้ง" $ ¬¬A $ เป็นผลมาจากการตัดสิน $ A $ นั่นคือมีความตึงในตรรกะที่เป็นทางการและเท่ากับค่ามากในตรรกะบูลีน

ผลกระทบหรือผลเชิงตรรกะ

นัยเป็นนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงในทุกกรณียกเว้นจากความจริงตามหลังเท็จ นั่นคือการดำเนินการทางตรรกะนี้เชื่อมต่อนิพจน์เชิงตรรกะแบบง่ายสองนิพจน์ซึ่งอันแรกคือเงื่อนไข ($ A $) และที่สอง ($ A $) เป็นผลมาจากเงื่อนไข ($ A $)

การกำหนด: $ \\ ถึง $, $ \\ Rightarrow $

ตารางความจริงสำหรับความหมาย

รูปที่ 4.

คุณสมบัตินัย:

$ A \\ ถึง B \u003d ¬A \\ vee B $
ความหมาย $ A \\ ถึง B $ เป็นเท็จถ้า $ A \u003d 1 $ และ $ B \u003d 0 $
ถ้า $ A \u003d 0 $ ความหมายของ $ A \\ ถึง B $ จะเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ $ B $ (คำโกหกอาจเป็นไปตามจริง)

ความเท่าเทียมกันหรือความเท่าเทียมกันทางตรรกะ

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์บูลีนที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจริงสำหรับค่าที่เท่ากันคือ $ A $ และ $ B $

การกำหนด: $ \\ leftrightarrow $, $ \\ Leftrightarrow $, $ \\ equiv $.

ตารางความจริงสำหรับความเท่าเทียมกัน

รูปที่ 5.

คุณสมบัติความเท่าเทียมกัน:

ความเท่าเทียมกันเป็นจริงกับชุดค่าที่เท่ากันของตัวแปร $ A $ และ $ B $
CNF $ A \\ equiv B \u003d (\\ bar (A) \\ vee B) \\ cdot (A \\ cdot \\ bar (B)) $
DNF $ A \\ equiv B \u003d \\ bar (A) \\ cdot \\ bar (B) \\ vee A \\ cdot B $

การแยกส่วนที่เข้มงวดหรือ mod เพิ่มเติม 2 (ในทฤษฎีเซตนี่คือการรวมกันของสองชุดโดยไม่มีจุดตัด)

การแยกส่วนที่ชัดเจนเป็นจริงถ้าค่าอาร์กิวเมนต์ไม่เท่ากัน

สำหรับอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์หมายความว่าการใช้งานวงจรสามารถทำได้โดยใช้องค์ประกอบทั่วไป (แม้ว่าจะเป็นองค์ประกอบที่มีราคาแพงก็ตาม)

ลำดับของการดำเนินการของการดำเนินการทางตรรกะในนิพจน์ตรรกะที่ซับซ้อน

การผกผัน (การปฏิเสธ);
คำสันธาน (การคูณเชิงตรรกะ);
การแยกส่วนและการแยกส่วนที่เข้มงวด (การเพิ่มตรรกะ);
นัย (ผล);
ความเท่าเทียมกัน (เอกลักษณ์)

ในการเปลี่ยนลำดับที่ระบุของการดำเนินการของการดำเนินการทางตรรกะคุณต้องใช้วงเล็บ

คุณสมบัติทั่วไป

สำหรับชุดของตัวแปรบูลีน $ n $ มีค่าที่แตกต่างกัน $ 2 ^ n $ ตารางความจริงสำหรับ นิพจน์เชิงตรรกะ จากตัวแปร $ n $ ประกอบด้วย $ n + 1 $ คอลัมน์และ $ 2 ^ n $ แถว

คุณสมบัติของการใช้งานเชิงตรรกะ

1. สัญกรณ์

1.1. สัญลักษณ์สำหรับการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ (การดำเนินการ):

ก) การปฏิเสธ (inversion, logical NOT) แสดงด้วย¬ (ตัวอย่างเช่น¬A);

ข) ร่วม (การคูณเชิงตรรกะตรรกะ AND) แสดงเป็น / \\
(ตัวอย่างเช่น A / \\ B) หรือ & (ตัวอย่างเช่น A & B);

ค) ความแตกแยก (การเพิ่มตรรกะตรรกะ OR) แสดงโดย \\ /
(ตัวอย่างเช่น A \\ / B);

ง) กำลังติดตาม (implication) แสดงโดย→ (ตัวอย่างเช่น A → B);

จ) เอกลักษณ์แสดงโดย≡ (ตัวอย่างเช่น A ≡ B) นิพจน์ A ≡ B เป็นจริงก็ต่อเมื่อค่าของ A และ B เหมือนกัน (ทั้งคู่เป็นจริงหรือเป็นเท็จทั้งคู่)

f) สัญลักษณ์ 1 ใช้เพื่อแสดงถึงความจริง (ข้อความจริง); สัญลักษณ์ 0 - เพื่อแสดงถึงการโกหก (ข้อความเท็จ)

1.2. เรียกนิพจน์บูลีนสองตัวที่มีตัวแปร เทียบเท่า (เทียบเท่า) หากค่าของนิพจน์เหล่านี้ตรงกับค่าใด ๆ ของตัวแปร ดังนั้นนิพจน์ A → B และ (¬A) \\ / B จึงเทียบเท่ากัน แต่ A / \\ B และ A \\ / B ไม่ใช่ (ค่าของนิพจน์จะแตกต่างกันตัวอย่างเช่นสำหรับ A \u003d 1, B \u003d 0).

1.3. ลำดับความสำคัญบูลีน: การผกผัน (การปฏิเสธ) การรวมกัน (การคูณเชิงตรรกะ) การแยกส่วน (การเพิ่มเชิงตรรกะ) ความหมาย (ต่อไปนี้) เอกลักษณ์ ดังนั้น¬A \\ / B \\ / C \\ / D จึงหมายถึงเช่นเดียวกับ

((¬A) \\ / B) \\ / (C \\ / D).

เป็นไปได้ที่จะเขียน A \\ / B \\ / C แทน (A \\ / B) \\ / C เช่นเดียวกันกับการรวม: สามารถเขียน A / \\ B / \\ C แทน (A / \\ B ) / \\ ค.

2. คุณสมบัติ

รายการด้านล่างไม่ได้ตั้งใจให้สมบูรณ์ แต่หวังว่าจะเป็นตัวแทนได้เพียงพอ

2.1. คุณสมบัติทั่วไป

สำหรับชุด nตัวแปรบูลีนมีอยู่จริง 2 n ค่าที่แตกต่างกัน ตารางความจริงสำหรับนิพจน์บูลีนจาก nตัวแปรประกอบด้วย n + 1คอลัมน์และ 2 nเส้น

2.2 Disjunction

หากนิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่ใช้ดิสชันถูกนำไปใช้เป็นจริงกับชุดของค่าบางค่าของตัวแปรดังนั้นการไม่แยกทั้งหมดจะเป็นจริงสำหรับชุดค่านี้ด้วย
หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการหนึ่งเป็นจริงกับชุดของค่าตัวแปรบางชุดการไม่ต่อเนื่องของนิพจน์เหล่านี้จะเป็นจริงด้วย
หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรบางอย่างการไม่แยกนิพจน์เหล่านี้จะเป็นเท็จด้วย
ความหมายของการแยกไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.3. คำสันธาน

หากนิพจน์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ที่ใช้การรวมเป็นเท็จกับชุดค่าของตัวแปรการรวมทั้งหมดจะเป็นเท็จสำหรับชุดค่านี้ด้วย
หากนิพจน์ทั้งหมดจากบางรายการเป็นจริงสำหรับชุดค่าของตัวแปรการรวมกันของนิพจน์เหล่านี้ก็เป็นจริงเช่นกัน
หากนิพจน์ทั้งหมดจากรายการบางรายการเป็นเท็จในชุดของค่าตัวแปรการรวมกันของนิพจน์เหล่านี้จะเป็นเท็จด้วย
ความหมายของการรวมไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับการเขียนของนิพจน์ย่อยที่ใช้

2.4. การแยกส่วนอย่างง่ายและคำสันธาน

เราเรียก (เพื่อความสะดวก) ร่วม ที่ราบหากนิพจน์ย่อยที่ใช้ร่วมกันเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ ในทำนองเดียวกันเรียกว่า disjunction ที่ราบหากนิพจน์ย่อยที่ใช้การแยกส่วนเป็นตัวแปรที่แตกต่างกันหรือการปฏิเสธ

การรวมแบบง่ายจะใช้ค่า 1 (จริง) กับค่าตัวแปรชุดเดียว
การแยกส่วนอย่างง่ายจะใช้ค่า 0 (เท็จ) กับค่าตัวแปรชุดเดียว

2.5. นัย

นัย ก →ขเทียบเท่ากับ disjunction (¬ ก) \\ / B.ความแตกต่างนี้สามารถเขียนได้ดังนี้: ¬ ก / ข.
นัย ก →ขรับค่า 0 (เท็จ) ก็ต่อเมื่อ A \u003d 1และ B \u003d 0. ถ้าก A \u003d 0,จากนั้นความหมาย ก →ขจริงสำหรับค่าใด ๆ ข.