Objetivo.Estudar métodos e praticar as habilidades de tradução de números de um sistema numérico posicional para outro.
O número de dígitos diferentes usados \u200b\u200bno sistema posicional determina o nome do sistema numérico e é chamado base
-ésimo sistema numérico.
Qualquer número N no sistema numeral posicional com base 
pode ser representado como um polinômio da base 
:
onde 
- número, 
- dígitos do número (coeficientes em graus 
),
- a base do sistema numérico ( 
>1).
Os números são escritos como uma sequência de números:
.
, um ponto na sequência separa a parte inteira do número da parte fracionária (coeficientes em potências não negativas, de coeficientes em potências negativas). O ponto é omitido se o número for um inteiro (sem expoentes negativos).
Em sistemas de computador, são usados \u200b\u200bsistemas numéricos posicionais com base não decimal: binário, octal, hexadecimal.
A base do hardware de um computador é baseada em elementos de duas posições que podem estar em apenas dois estados; um dos quais é denotado por 0 e o outro - 1. Portanto, o computador principal lógico-aritmético é um sistema numérico binário.
Sistema de números binários. Dois dígitos são usados: 0 e 1. No sistema binário, qualquer número pode ser representado como: 
.
Onde 
0 ou 1.
Esta entrada corresponde à soma das potências do número 2, tomadas com os coeficientes indicados:
Sistema numérico octal. São usados \u200b\u200boito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Ele é usado em um computador como um auxiliar para registrar informações de forma abreviada. Três dígitos binários (tríade) são usados \u200b\u200bpara representar um dígito no sistema octal (consulte a tabela 1).
Sistema numérico hexadecimal. 16 dígitos são usados \u200b\u200bpara representar números. Os primeiros dez dígitos deste sistema são designados por números de 0 a 9, e os seis dígitos mais significativos são designados por letras latinas: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). O sistema hexadecimal, como o octal, é usado para registrar informações de forma abreviada. Para representar um dígito do sistema numérico hexadecimal, quatro dígitos binários (tétrade) são usados \u200b\u200b(consulte a Tabela 1).
Tabela 1.
Sistemas de numeração posicional (ss) alfabetos
|
Binary ss (Base 2) |
Octal ss (Base 8) |
Ss decimais (Base 10) |
Hexadecimal ss (Base 16) |
||
|
Binário |
Tétrades binárias |
||||
Exercício 1.Converta os números dos sistemas numéricos fornecidos para o sistema decimal.
Instruções metódicas.
A conversão de números para o sistema decimal é realizada através da soma da série de potências com a base do sistema a partir do qual o número é traduzido. Em seguida, o valor desse montante é calculado.
Exemplos de.
a) Traduzir s.s.
.
b) Traduzir 
s.s.
c) Traduzir 
s.s.
Tarefa 2.Converta inteiros decimais em octais, hexadecimais e binários.
Instruções metódicas.
A conversão de inteiros decimais em sistemas octais, hexadecimais e binários é realizada dividindo-se sequencialmente o número decimal pela base do sistema para o qual é traduzido, até que o quociente seja igual a zero. O número no novo sistema é escrito como o resto da divisão, começando com o último.
Exemplos de.
a) Traduzir 
s.s.
181: 8 \u003d 22 (resto 5)
22: 8 \u003d 2 (restante 6)
2: 8 \u003d 0 (resto 2)
Responda: 
.
b) Traduzir 
s.s.
A tabela mostra a divisão:
622: 16 \u003d 38 (restante 14 10 \u003d E 16)
38: 16 \u003d 2 (restante 6)
2: 16 \u003d 0 (resto 2)
Responda: 
.
Tarefa 3.Converta as frações decimais corretas do sistema decimal para sistemas octal, hexadecimal e binário.
Com a ajuda desta calculadora online, você pode converter números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. Uma solução detalhada com explicações é fornecida. Para tradução, insira o número original, defina a base da base da base do número da base, defina a base da base para a qual deseja traduzir o número e clique no botão "Traduzir". Para a parte teórica e exemplos numéricos, veja abaixo.
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Conversão de inteiros e frações de um sistema numérico para qualquer outro - teoria, exemplos e soluções
Existem sistemas numéricos posicionais e não posicionais. O sistema de numeração arábica que usamos na vida cotidiana é posicional, mas o romano não é. Em sistemas de número posicional, a posição do número determina exclusivamente o valor do número. Vamos considerar isso usando o exemplo do número 6372 em notação decimal. Vamos enumerar esse número da direita para a esquerda começando do zero:
Então, o número 6372 pode ser representado da seguinte forma:
6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 10 3 + 3 10 2 + 7 10 1 + 2 10 0.
O número 10 define o sistema numérico (neste caso, é 10). Os valores da posição do número fornecido são considerados em graus.
Considere o número decimal real 1287,923. Vamos numerá-lo começando da posição zero do número do ponto decimal à esquerda e à direita:
Então, o número 1287.923 pode ser representado como:
1287,923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
Em geral, a fórmula pode ser representada da seguinte forma:
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
onde Ц n é um inteiro na posição n, Ä -k - número fracionário na posição (-k), s - sistema numérico.
Algumas palavras sobre os sistemas numéricos. O número no sistema numérico decimal consiste em muitos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), no sistema numérico octal - do conjunto de números (0,1, 2,3,4,5,6,7), no sistema numérico binário - do conjunto de dígitos (0,1), no sistema numérico hexadecimal - no conjunto de números (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), onde A, B, C, D, E, F correspondem aos números 10,11,12,13,14,15. números em sistemas numéricos diferentes são apresentados.
| tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notação | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UMA |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversão de números de um sistema numérico para outro
Para converter números de um sistema numérico para outro, a maneira mais fácil é primeiro converter o número para o sistema numérico decimal e, em seguida, do sistema numérico decimal para o sistema numérico necessário.
Converter números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal
Usando a fórmula (1), você pode traduzir números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal.
Exemplo 1. Converta o número 1011101.001 do sistema numérico binário (SS) para SS decimal. Decisão:
1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93,125
Exemplo2. Converta o número 1011101.001 do sistema de numeração octal (SS) para SS decimal. Decisão:
Exemplo 3 ... Converta o número AB572.CDF da base hexadecimal para SS decimal. Decisão:
Aqui UMA - substituído por 10, B - às 11, C- aos 12, F - em 15.
Converter números de um sistema numérico decimal para outro sistema numérico
Para converter números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico, você precisa traduzir separadamente a parte inteira do número e a parte fracionária do número.
A parte inteira do número é transferida do SS decimal para outro sistema numérico - dividindo sequencialmente a parte inteira do número pela base do sistema numérico (para um SS binário - por 2, para um SS 8-ário - por 8, para um 16-ário - por 16, etc.) ) até ser obtido um resíduo inteiro, menos do que a base CC
Exemplo 4 ... Vamos converter o número 159 de SS decimal em SS binário:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Como pode ser visto na Fig. 1, o número 159 quando dividido por 2 dá o quociente 79 e o resto 1. Além disso, o número 79 quando dividido por 2 dá o quociente 39 e o resto 1, etc. Como resultado, tendo construído um número a partir do restante da divisão (da direita para a esquerda), obtemos o número no SS binário: 10011111 ... Portanto, podemos escrever:
159 10 =10011111 2 .
Exemplo 5 ... Vamos converter o número 615 de SS decimal em SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Ao converter um número de SS decimal em SS octal, você precisa dividir sequencialmente o número por 8 até obter um resto inteiro menor que 8. Como resultado, construindo o número a partir dos restos da divisão (da direita para a esquerda), obtemos o número em SS octal: 1147 (veja a Fig. 2). Portanto, podemos escrever:
615 10 =1147 8 .
Exemplo 6 ... Convertendo o número 19673 de decimal em hexadecimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Como pode ser visto na Figura 3, dividindo sequencialmente 19673 por 16, obtemos os restos 4, 12, 13, 9. No sistema de numeração hexadecimal, 12 corresponde a C e 13 corresponde a D. Portanto, nosso número hexadecimal é 4CD9.
Para converter as frações decimais corretas (um número real com uma parte inteira zero) para a base s, esse número deve ser multiplicado sequencialmente por s até que um zero puro seja obtido na parte fracionária, ou obteremos o número necessário de dígitos. Se a multiplicação resultar em um número diferente de zero com uma parte inteira, esta parte inteira não é levada em consideração (eles são adicionados sequencialmente ao resultado).
Vamos considerar o acima com exemplos.
Exemplo 7 ... Converter o número 0,214 de SS decimal em binário SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Como pode ser visto na Fig. 4, o número 0,214 é sequencialmente multiplicado por 2. Se a multiplicação resultar em um número diferente de zero com uma parte inteira, a parte inteira é escrita separadamente (à esquerda do número), e o número é escrito com uma parte inteira zero. Se, durante a multiplicação, um número com uma parte inteira zero for obtido, então zero é escrito à esquerda dele. O processo de multiplicação continua até que um zero puro seja obtido na parte fracionária, ou o número necessário de dígitos seja obtido. Escrevendo os números em negrito (Fig. 4) de cima para baixo, obtemos o número necessário no sistema binário: 0. 0011011 .
Portanto, podemos escrever:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplo 8 ... Vamos converter o número 0,125 do sistema numérico decimal para o SS binário.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Para converter o número 0,125 do SS decimal em binário, este número é multiplicado sequencialmente por 2. Na terceira etapa, resultou 0. Portanto, foi obtido o seguinte resultado:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplo 9 ... Vamos converter o número 0,214 do sistema numérico decimal para SS hexadecimal.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Seguindo os exemplos 4 e 5, obtemos os números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mas no SS hexadecimal, os números 12 e 11 correspondem aos números C e B. Portanto, temos:
0,214 10 \u003d 0,36C8B4 16.
Exemplo 10 ... Conversão de número decimal em número octal 0,512.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Obteve:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplo 11 ... Convertendo o número 159,125 de SS decimal em binário SS. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 4) e a parte fracionária do número (Exemplo 8). Além disso, combinando esses resultados, obtemos:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplo 12 ... Converter o número 19673.214 de decimal em hexadecimal SS. Para fazer isso, traduzimos separadamente a parte inteira do número (Exemplo 6) e a parte fracionária do número (Exemplo 9). Além disso, combinando esses resultados, obtemos.
Todos os sistemas numéricos posicionais são iguais, mas dependendo das tarefas que uma pessoa resolve usando números, ela pode usar sistemas numéricos com bases diferentes.
O sistema numérico decimal mais comumente usado, ou seja, sistema numérico, cujo alfabeto consiste em dez dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e, portanto, a base é dez. O uso generalizado desse sistema numérico é fácil de explicar. Em primeiro lugar, escrever um número no sistema numérico decimal é bastante compacto e, em segundo lugar, o sistema numérico decimal tem sido usado pela humanidade há vários séculos. Durante esse tempo, as pessoas já se acostumaram com os números e com o registro de números e com a pronúncia de números no sistema numérico decimal, por exemplo, o registro "15" é compreensível para qualquer pessoa e ela o lerá como quinze, mas o mesmo número escrito no sistema numérico binário "1111" causa, pelo menos, ligeiro espanto, mas como ler este número.
E, no entanto, é impossível dizer inequivocamente que o sistema numérico decimal é a escolha ótima da humanidade para trabalhar com números. Vamos provar isso com alguns exemplos.
Todos vocês se lembram da tabuada e, claro, lembrem-se de quanto esforço vocês tiveram que fazer para aprender esta tabuada. Não daremos aqui a tabuada de multiplicação no sistema numérico decimal, mas para comparação, daremos a tabuada no sistema numérico binário:
Como você pode ver, a tabuada de multiplicação no sistema numérico binário parece muito mais simples do que na decimal.
A compactação de escrever números no sistema numérico decimal, o mesmo não é o mais alto, em todos os sistemas numéricos com uma base maior que dez números serão escritos de forma mais compacta, por exemplo, também o número "15", no sistema numérico hexadecimal será escrito como "F".
Conforme já mencionado no parágrafo 5, um sistema de números binários é adotado para registrar números em um computador. Nesta seção, devemos descobrir como os números são representados na memória do computador, para isso será suficiente entender as regras de tradução de números decimais em um sistema numérico binário.
Na prática, para converter números da base dez para a base dois, use a seguinte regra:
1. O número escrito no sistema numérico de base dez é dividido com o resto por dois (a base do novo sistema numérico), escrito nos números do sistema numérico de base dez (o sistema numérico antigo), até que o quociente seja 0.
2. O restante da divisão, escrito na ordem inversa, forma um número no novo sistema numérico com base dois.
Esta regra é mais conveniente para converter números do sistema numérico decimal. Para a tradução reversa, é mais conveniente usar o chamado esquema de Horner.
1. Numere as posições no número, da direita para a esquerda, começando do zero;
2. Faça uma série representando a soma dos produtos dos dígitos de um número com base no antigo sistema numérico, escritos nos números do novo sistema numérico, elevados a uma potência igual ao número da posição do número no número;
3. Encontre a soma das séries.
Vamos analisar essas regras usando exemplos específicos.
Exemplo 1: Escreva o decimal 121 em notação binária.
121 | 2 121 D \u003d 1111001 B
120 60 | 2
1 60 30 | 2
0 30 15 | 2
0 14 7 | 2
1 6 3 | 2
A calculadora permite converter números inteiros e fracionários de um sistema numérico para outro. A base do sistema numérico não pode ser inferior a 2 e superior a 36 (afinal, 10 dígitos e 26 letras latinas). Os números não devem exceder 30 caracteres. Use o símbolo para inserir números fracionários. ou,. Para converter um número de um sistema para outro, insira o número original no primeiro campo, a base do sistema numérico original no segundo e a base do sistema numérico para o qual você deseja traduzir o número no terceiro campo e, em seguida, clique no botão "Obter Registro".
Numero original registrado em 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.
Eu quero obter um registro do número em 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.
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Sistemas numéricos
Os sistemas numéricos são divididos em dois tipos: posicional e não posicional... Usamos o sistema árabe, é posicional, e há também o romano - apenas não é posicional. Em sistemas posicionais, a posição de um dígito em um número determina exclusivamente o valor desse número. Isso é fácil de entender considerando o exemplo de um número.
Exemplo 1... Vamos pegar o número 5921 em notação decimal. Vamos numerar o número da direita para a esquerda começando de zero:
O número 5921 pode ser escrito da seguinte forma: 5921 \u003d 5000 + 900 + 20 + 1 \u003d 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. O número 10 é uma característica que define o sistema numérico. Os valores da posição do número fornecido são considerados em graus.
Exemplo 2... Considere o número decimal real 1234,567. Vamos numerá-lo começando da posição zero do número da casa decimal à esquerda e à direita:
O número 1234,567 pode ser escrito da seguinte forma: 1234,567 \u003d 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.
Conversão de números de um sistema numérico para outro
A maneira mais fácil de traduzir um número de um sistema numérico para outro é traduzir o número primeiro no sistema numérico decimal e, em seguida, o resultado obtido no sistema numérico necessário.
Converter números de qualquer sistema numérico para o sistema numérico decimal
Para converter um número de qualquer sistema numérico em decimal, basta numerar seus dígitos, começando do zero (a casa à esquerda da vírgula decimal) semelhante aos exemplos 1 ou 2. Encontre a soma dos produtos dos dígitos do número pela base do sistema numérico na potência da posição deste dígito:
1.
Converta o número 1001101.1101 2 em notação decimal.
Decisão: 10011,1101 2 \u003d 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 \u003d 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 \u003d 19,8125 10
Responda: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Converta E8F.2D 16 em notação decimal.
Decisão: E8F.2D 16 \u003d 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 \u003d 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 \u003d 3727,17578125 10
Responda: E8F.2D 16 \u003d 3727.17578125 10
Converter números de um sistema numérico decimal para outro sistema numérico
Para converter números do sistema numérico decimal para outro sistema numérico, as partes inteiras e fracionárias do número devem ser traduzidas separadamente.
Converter a parte inteira de um número do sistema numérico decimal para outro sistema numérico
A parte inteira é convertida do sistema numérico decimal para outro sistema numérico dividindo-se sequencialmente toda a parte do número pela base do sistema numérico até que todo o resto seja obtido, que é menor que a base do sistema numérico. O resultado da transferência será um lançamento do saldo, começando pelo último.
3.
Converta o número 273 10 para o sistema numérico octal.
Decisão: 273/8 \u003d 34 e o resto 1, 34/8 \u003d 4 e o resto 2, 4 é menor que 8, então os cálculos estão completos. O registro restante será semelhante a este: 421
Verifica: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 \u003d 256 + 16 + 1 \u003d 273 \u003d 273, o resultado é o mesmo. A tradução está correta.
Responda: 273 10 = 421 8
Vamos considerar a tradução das frações decimais corretas em vários sistemas numéricos.
Converter a parte fracionária de um número do sistema numérico decimal para outro sistema numérico
Lembre-se de que a fração decimal correta é chamada número real com parte inteira zero... Para traduzir tal número em um sistema numérico de base N, você precisa multiplicar sequencialmente o número por N até que a parte fracionária seja zero ou o número necessário de dígitos seja obtido. Se, durante a multiplicação, for obtido um número com uma parte inteira diferente de zero, a parte inteira não é mais levada em consideração, pois é inserida sequencialmente no resultado.
4.
Converta o número binário 0,125 10.
Decisão: 0,125 2 \u003d 0,25 (0 é a parte inteira, que se tornará o primeiro dígito do resultado), 0,25 2 \u003d 0,5 (0 é o segundo dígito do resultado), 0,5 2 \u003d 1,0 (1 é o terceiro dígito do resultado, e como a parte fracionária é igual a zero , então a tradução está completa).
Responda: 0.125 10 = 0.001 2
